Integrasi Numerik MEtode Simpson

Metode integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan.
Integrasi numerik metode simpson adalah metode yang digunakan dengan mem-fitting persamaan quadratik kedalam tiga point yang melalui f(x) untuk mengetahui luas area yang berada di bawahnya.. diilustrasikan kedalam grafik ayng terdapat pada buku computer oriented numerical method ,V. Rajaraman halaman 147.
persamaan umum metode simpson adalah sebagai berikut :

 logaritma dalam menyelesaikan aturan simpson adalah :

1. untuk i = 1 ke n+1 kerjakan instruksi berikut (catatan n+1 harus ganjil)
2. Baca fi
3. Ulangi intruksi 1

4. jumlah f1 + (fn+1)
5. untuk i=2ke nlangkah-langkahnya sebagai berikut :
6.jumlah <---- jumlah + 4fi
7. ulangi instruksi 5
8. untuk i=3 ke n-1 longkap2 kerjakan instruksi berikut :
9. jumlah <--- jumlah + 2fi
10. ulangi instruksi 8
11. tulis integral
12. berhenti

Ada dua aturan simpson yang digunakan

Menghitung luas bidang lengkung dengan aturan Simpson I adalah rumus luas untuk 3 (tiga) ordinat yaitu : y0, y1 dan y2 atau jika jumlah ordinat lebih banyak dapat dikatakan, rumus pendekatan ini digunakan untuk menghitung luas bidang lengkung pada setiap jarak ordinat (h) kelipatan 2.

Untuk menghitung atau mendapatkan rumus luas bidang lengkung dengan metode aturan Simpson I, dapat dilakukan dengan 2 (dua) cara, yaitu :

Cara I :

                        Gambar 1 Bidang lengkung (aturan Simpson I - Cara I)

Seperti terlihat pada gambar 4.3, misalkan persamaan garis lengkung bidang tersebut adalah y = a0 + a1.x + a2.x². Dengan integrasi, luas bidang lengkung di atas (A) dapat dihitung sebagai berikut :

• Persamaan garis : y = a0 + a1.x + a2.x² ……….. [I]

• Luas semua : A = ₀∫^2h dA = ₀∫^2h  ydx = ₀∫^2h (a0 + a1.x + a2.x²)dx

A = ₀∫^2h (a0.dx) + ₀∫^2h (a1.x.dx) + ₀∫^2h (a2.x²dx)

A  = a0.x + ½ a1.x² + 1/3a2.x³ = a0.2h + ½ a1.(2h)² + 1/3a2.(2h)³

A  =  2a0.h + 2a1.h² + 8/3a2.h³………. [II]

Misalkan :        A = B.y0 + C.y1 + D.y2 ………. [III]

Dari persamaan [I]:

Bila :    x = 0                maka :  y0 = a0 + a1.0 + a2.0 = a0

x = h                maka :  y1 = a0 + a1.h + a2.h²

x = 2h              maka : y2 = a0 + 2a1.h + 4a2.h²

Masukkan y0, y1 dan y2 di atas ke persamaan [III], didapat :

A = B(a0) + C(a0 + a1.h + a2.h²) + D(a0 + 2a1.h + 4a2.h²)

    = (B.a0 + C.a0 + D.a0) + (C.a1.h + 2D.a1.h) + (C.a2.h² + D.4a2.h²

    = (B + C + D)a0 + (C + 2D)a1.h + (C + 4D)a2.h² ………. [IV]

Dari persamaan [II]  : A = 2h. a0 + 2h.a1.h + 8/3h. a2.h²

dan [IV], didapat :

( B + C + D )   = 2 h …….(1)

( C + 2D )        = 2 h …….(2)

( C + 4D )        = 8/3 h … .(3)

Dari (3) – (2) didapat : (C+ 4D – C – 2D) = 8/3 h – 2h

                                      2D = 2/3 h,  D = 1/3 h

Dari (2) : (C + 2/3h) = 2 h,   C = 2h – 2/3h = 4/3 h

Dari (1) : (B + 4/3 h + 1/3 h) = 2 h,  B = 2h – 5/3 h = 1/3 h

Jadi didapat : B = D = 1/3 h dan C = 4/3 h

Dimasukkan ke persamaan [III], didapat :

      A = 1/3 h.y0 + 4/3 h.y1 + 1/3 h.y2

A = 1/3 h (1.y0 + 4.y1 + 1.y2 )

 

Cara II :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 2 Bidang lengkung (aturan Simpson I - Cara II)

Luas bidang lengkung semua (ABCDHF) = Luas Trapesium ACDF + luas tembereng parabola DEFH

Luas Trapesium ACDF           = ½ (y0 + y2) x 2h = h (y0 + y2)………..( 1 )

Luas tembereng DEFH           = 2/3 luas jajaran genjang DFGI

                                                = 2/3 (DI x AC) = 2/3 DI . 2h

                                                = 2/3 EH . 2h = 4/3 h (BH – BE)

                                                = 4/3 h [y1 – ½ (y0 + y2)]

                                                = 4/3 h (y1 – ½ y0 – ½ y2)………………………(2)

Dari (1) dan (2) :

Luas keseluruhan bidang lengkung     = h (y0 + y2) + 4/3 h (y1 – ½ y0 – ½ y2)

                                                            = 1/3 h (3y0 + 3 y2) + 1/3 h (4y1 – 2y0 – 2y2)

                                                            = 1/3 h (3y0 + 3y2 + 4y1 – 2y0 – 2y2)

A = 1/3 h (1.y0 + 4.y1 + 1.y2)

Jadi harus diingat, untuk aturan Simpson I :

- Angka pengali                       : 1/3

- Faktor Simpson I                  : 1, 4, 1

- Jarak ordinat kelipatan          : 2

 

 untuk penjelasan selanjutnya akan menyusul